原題目：如何定量描述順磁介質的何定化強磁化？《張向陽的物理課》推導磁化強度公式

順磁介質的磁化強度與什么有關？如何操縱玻爾茲曼散布推導磁化強度公式？10月28日12時，《張向陽的量描物理課》第九十六期開播，搜狐首創人、述順式董事局主席兼CEO張向陽坐鎮搜狐視頻直播間，磁介磁化先溫習了玻爾茲曼散布公式與角動量量子化的質的張內亂容，隨后操縱磁矩的物理勢能公式計較出無軌道角動量的電子在外磁場中的能級。接著操縱玻爾茲曼散布推導出磁化強度公式，課推并在弱場極限下對其展開，導磁度之后還將其擴大到任意角動量的何定化強情況。

求解外磁場下的量描電子自旋能級 寫出玻爾茲曼散布

在之前關于求解空氣密度隨高度的散布，以及用統計體例求解麥克斯韋速度散布率的述順式課程中，張向陽推導出了抱負氣體的磁介磁化玻爾茲曼散布。在更一般的質的張情況下，對量子力學分立的物理能級體系，玻爾茲曼散布是課推指，粒子處于第i能級的概率為：

其中，Ei是第i能級的能量，gi是第i能級的簡并度。

操縱玻爾茲曼散布公式，接下來闡發外磁場中電子的能級情況，以及處在各能級上的概率。設電子具有總角動量J，那么按照之前的課程內亂容可知，電子磁矩與角動量的關系知足：

其中qe是單位電荷，公式中的“-”來歷于電子帶負電-qe。

設勻強外磁場B沿著z軸標的目標，按照勢能公式可知電子在外磁場B中的能量為：

其中，Jz是電子總角動量J沿著z軸的投影。

在經典力學中，Jz是持續的，能量φ和磁矩μ也是持續的。當磁矩μ與B的標的目標越近（即它們的標的目標夾角θ越?。?，能量φ越小，說明電子磁矩有沿B標的目標排列的傾向，這與之前的磁矩力矩公式是一致的。

而在之前量子力學課程中，張向陽已經求解得知角動量z分量的取值其實不是持續的，而是取如下分立的值：

其中j是某一整數或半整數。

對無軌道角動量的電子，總角動量由自旋角動量決定，這時j=1/2，所以角動量z分量Jz的只能取兩個值：

其中，按照能量φ的表達式可知，自旋朝著z標的目標（即與B平行）時取正值，自旋朝著z標的目標的反標的目標時取負值。

在外磁場中的電子能量φ也只能取兩個值：

同樣也是自旋朝著z標的目標時Φ取正值，自旋朝著z標的目標的反標的目標時Φ取負值。

為了便利后續的討論，這里定義一個常數磁矩μ0：

于是，當自旋朝著z標的目標時，按照電子磁矩μ與角動量J的關系式，可知電子磁矩的z分量是-μ0，能量φ取正能級：

那么按照玻爾茲曼散布，電子處在正能級上的概率為：

其中a是歸一化常數。

而當自旋朝著z標的目標的反標的目標時，按照電子磁矩μ與角動量J的關系式，可知電子磁矩的z分量是μ0，能量φ取負能級：

同樣按照玻爾茲曼散布，電子處在負能級上的概率為：

這樣就求出了外磁場中無軌道角動量的電子在各能級上的玻爾茲曼散布，以及各能級所對應的磁矩z分量。

推導順磁磁化強度公式 線性展開并推廣到一般情況

有了電子在各能級上的概率散布以及各能級對應的磁矩，便可以求解磁介質的磁化強度。按照概率散布可以計較出電子磁矩的z分量的平均值：

至于磁矩的x和y分量的平均值，可由對稱性可知它們都等于零。

（張向陽操縱玻爾茲曼散布推導磁化強度公式）

磁化強度M定義為每單位體積中的凈磁矩，設單位體積內亂的電子數為N，那么磁化率M為：

當外磁場B很年夜或溫度極低時，雙曲正切函數會使得磁化率M趨于一個固定的極限值Nμ0，相當于所有的自旋都轉向了z軸（即外磁場B的標的目標），這時磁化率達到飽和。當外磁場B比較弱時，無法則熱運動會使得磁矩傾向于無法則的排列，抵消磁場B的轉向作用，這時可以操縱雙曲正切函數的線性展開特性：

將弱場情況下的磁化率近似寫成：

這表白在弱磁場情況下M與外磁場B成正比。

上面的公式是假定總角動量J完全是自旋角動量?/2得出來的，為了取得更普遍的公式，張向陽將μ0^2的表達式具體寫出來：

進一步定義波爾磁子μB為：

可以將μ0^2寫成加倍緊湊的形式：

波爾磁子是與具體系統無關的常數，與電子自旋相關的量就是前面的系數g與(1/2)^2。因為自旋g約等于2，所以從這個公式能看出，自旋磁矩幾近就是一個波爾磁矩。由于磁矩與角動量成正比，磁矩的平方與角動量的平方有關，而在量子力學中角動量的平方的取值為j(j+1)?^2。這里電子自旋對應j=1/2，于是斟酌將(1/2)^2寫成如下角動量平方（本征值）形式：

這樣就只要不限制j=1/2，那么就將上述(μ0)^2擴充到任意總角動量j的情況：

對應的在弱場B情況下的磁化強度近似為：

這就是外磁場B在順磁介質中誘導出的磁化強度公式，而玻爾磁子年夜致標定了原子磁矩的年夜小。從公式中可以看出，溫度越高由于無法則熱運動越狠惡，使得排列傾向紊亂，會減小磁化強度。別的，磁化強度還與原子角動量的平方，粒子數密度與外磁場（弱場）成正比，適合之前用磁矩力矩公式關于順磁介質的定性闡發。

（張向陽將磁化強度公式進行弱場展開并定義玻爾磁子）

據體會，《張向陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“存眷流”中搜索“張向陽”，不雅看直播及往期完整視頻回放；存眷“張向陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。別的，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。返回搜狐，查看更多

責任編輯：